FACTORIZACION

Pg. 1

GRUPO MATEMÁTICO

ÁLGEBRA

CÉSAR H. AGUILAR RAMOS

METODOLOGÍAS DE FACTORIZACIÓN

1. DEFINICION.- Es un proceso de transformaciones

sucesivas de un polinomio en un producto indicado

de 2 o más factores primos, dentro de un cierto

campo de números.

FACTORIZACIÓN

2

x + 3 x − 10 = ( x + 5)( x − 2 )

MULTIPLICACIÓN

OBSERVACIÓN:

La factorización se realiza en el conjunto de las

expresiones algebraicas racionales enteras respecto

a la variable y respecto a los coeficientes en el

conjunto de los números racionales.

2. POLINOMIO DEFINIDO EN UN CAMPO

NUMÉRICO

Un polinomio se define en un determinado campo

numérico si todos sus coeficientes pertenecen a éste

campo, generalmente se indica el campo numérico

más pequeño.

Ejemplo:

f

3 2

( x) = 3x

− 4x

+ 7x

− 5

; está definido en Z

2 2 3 4 1 5

f ( x, y) = 5x

− x y + xy ; está definido en Q

3 8

g

5

3

( x,

y) = −2x

+ 3xy

+ + 2 5

2

3 9

( x, y) −4x

+ 3ix

xy

; está definido en R

h = + ; está definido en C

3. POLINOMIO IRREDUCTIBLE O PRIMO SOBRE

UN CAMPO NUMÉRICO

Es aquel que no acepta transformación a

multiplicación indicada de dos o más polinomios no

constantes, pertenecientes a dicho conjunto

numérico.

Todo polinomio primo presenta como únicos

divisores a el mismo y a cualquier constante no nula.

2 x + 3 es primo en Q, R y C

x 2 − 5 es primo en Q no es primo en R

x 2 − 4 no es primo en Q

2

x − x + 1 es primo en Q, R no es primo en C

TEOREMA: Todo polinomio lineal de la forma

(a x + b) es irreductible en cualquier campo numérico.

A. MÉTODO DEL FACTOR COMÚN Y/O

AGRUPACIÓN DE TÉRMINOS.

Procedimiento

- El coeficiente del factor común se extrae

calculando el M.C.D de los coeficientes del

polinomio.

- La parte literal del factor común lo conforman

las letras comunes a los términos del

polinomio con sus menores exponentes.

- El otro factor que se debe escribir entre

paréntesis, se obtiene dividiendo cada uno

de los términos del polinomio inicial entre el

factor común extraído.

En caso la expresión no tenga factores comunes,

entonces se recomienda recurrir a la agrupación

de términos.

NOTA:

Si al agrupar términos se introduce signos de

agrupación (paréntesis, corchetes, etc.) se debe

tener en cuenta lo siguiente:

- Si es a partir de un positivo, los demás se

escribirán en el interior con su mismo signo.

- Si es a partir de un negativo, los demás se

escribirán en el interior pero con signo cambiado.

B. MÉTODO DE LAS IDENTIDADES.

Recibe este nombre, porque utiliza las identidades

algebraicas o productos notables en forma inversa.

B.1 TRINOMIO CUADRADO PERFECTO (TCP)

( a ) 2

( a − ) 2

a +

a

2 + 2 ab + b

2 = b

2 − 2 ab + b

2 = b

n n

( a b ) 2

2n

n n 2n

a ± 2a

b + b = ±

Procedimiento

- Si esta ordenado, se extrae la raíz cuadrada

de los términos que son cuadrados perfectos.

- El término central debe ser el doble del

producto de las raíces encontradas.

- El factor estará formado por dichas raíces

separadas por el signo del segundo término,

elevándose al cuadrado.

B.2 DIFERENCIA DE CUADRADOS

a

a

− b

2 =

( a + b)( a − b)

2

n

( n n

)( n n

b = a + b a − b )

2 n

− 2

Procedimiento

---

Pg. 2

GRUPO MATEMÁTICO

ÁLGEBRA

CÉSAR H. AGUILAR RAMOS

- Se extrae la raíz cuadrada de los términos

que son cuadrados perfectos.

- Se forma un producto de la suma de las

raíces por la diferencia de las mismas.

B.3 SUMA DE CUBOS PERFECTOS

a

3n

2

2

( a + b)( a − ab b )

3 3

a + b =

+

+ b

3n

=

n n 2n

n n 2n

( a + b )( a − a b + b )

Procedimiento

- El primer factor es un binomio formado por la

suma de las raíces cúbicas.

- El segundo factor es un trinomio donde el

primer y tercer término son los cuadrados de

dichas raíces y el segundo término es el

producto de las mismas (con signo negativo).

B.4 DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS

a

3n

2

2

( a − b)( a + ab b )

3 3

a − b =

+

− b

3n

=

n n 2n

n n 2n

( a − b )( a + a b + b )

Procedimiento

- Obsérvese que es similar a la suma de cubos

a diferencia de los signos.

B.5 CUBO DE UN BINOMIO

( a ) 3

a ±

3 ± 3a

2 b ± 3ab

2 ± b

3 = b

n n

( a b ) 3

3n

2n

n n 2n

3n

a ± 3a

b ± 3a

b ± b = ±

Procedimiento

- Se debe verificar que la expresión algebraica

tenga cuatro términos

- Que tenga dos términos que sean cubos

perfectos, es decir tengan raíz cúbica.

-

n

Que siendo a y

n

b las raíces cúbicas debe

cumplirse.

n n

( )

a

n ( b n ) 2

± 3 a 2 b debe ser el segundo término

+ 3 debe ser el tercer término

C. MÉTODO DEL ASPA.

C.1 MÉTODO DEL ASPA SIMPLE

Es empleado cuando la expresión es de la forma:

P

P

2n

n

( x)

= Ax + Bx + C

2n

n m 2m

( x) = Ax + Bx y + Cy

+

m, n∈ Z

P

O cualquier expresión transformable a una de las

formas anteriores.

Procedimiento

- Se descompone el primer y tercer término en

dos factores primos.

- Se efectúa el producto en aspa de los

factores mencionados y luego se suman

estos productos. El resultado debe ser igual

al segundo término.

- Cuando el tercer término tiene signo (+) sus

factores tendrán signos iguales.

- Cuando el tercer término tiene signo (-) sus

factores tendrán signos diferentes que

deberán ser colocados de manera

conveniente.

- Si la descomposición no resulta, se ensaya

otra permutando posiciones en los factores o

buscando otros valores para el tercer

término.

- Una vez realizado la correcta

descomposición, los factores serán binomios

escritos de las aspas en forma horizontal.

C.2 MÉTODO DEL ASPA DOBLE

Se utiliza para factorizar polinomios de dos

variables de seis términos que tienen la forma

general:

2

2

( , y)

= Ax + Bxy+

Cy + Dx+

Ey+

F

2n

n m 2m

n m

( , y) = Ax + Bx y + Cy + Dx + Ey + F

P x

P x

O cualquier otra expresión transformable a ésta

Procedimiento

- El método consiste en descomponer todos los

términos que produzcan aspas de tal manera que

la suma de productos en aspa nos compruebe

cada uno de los términos del polinomio.

- Si faltaran términos se completarán con ceros,

siendo los factores las sumas horizontales.

2n

n m 2m

n m

( x,

y) = Ax + Bx y + Cy + Dx + Ey + F

A 1 x n C 1 y m F 1

Comprobación:

(I) : (A 1 x n )(C 2 y m ) + (A 2 x n )(C 1 y m ) = Bx n y m

(II) : (C 1 y m ) (F 2 ) + (C 2 y m ) (F 1 ) = Ey n

(III) : (A 1 x n ) (F 2 ) + (A 2 x n ) (F 1 ) = Dx n

Luego tomando los factores en forma horizontal

n m

n

m

∴P

x, y = A x + C y + F A x + C y + F

( ) ( )( )

1

(I) (III) (II)

A 2 x n C 2 y m F 2

1

1

2

2

2

---

Pg. 3

GRUPO MATEMÁTICO

ÁLGEBRA

CÉSAR H. AGUILAR RAMOS

C.3 MÉTODO DEL ASPA DOBLE ESPECIAL

Permite factorizar expresiones que adoptan la

forma general:

4 3 2

( x) = Ax + Bx + Cx + Dx E

P +

P

4n

3n

2n

( x) = Ax + Bx + Cx + Dx + E

o cualquier otra expresión transformable a ésta.

Procedimiento

- Adecuamos el polinomio a la forma general, en

caso faltara uno o mas términos éstos se

completarán con ceros.

- Se descomponen convenientemente los

extremos, se efectúa el producto en aspa y se

suman los resultados.

- Se compara el resultado anterior con el término

2

central de la expresión ( Cx ) y lo que sobre o

falte para que sea igual a éste, será la expresión

que se tenga que descomponer en las partes

centrales de los futuros nuevos dos factores.

- Los factores se toman en forma horizontal.

C.4 MÉTODO DEL ASPA TRIPLE

Se emplea para facturar polinomios que estén en

función de tres variables y que tengan 10

términos de la siguiente forma:

2

2

2

( x,

y,

z) = Ax + Bxy+

Cy + Dyz+

Ez + Fxz+

Gx+

Hy+

Iz J

P +

D. MÉTODO DE LOS DIVISORES BINOMIOS.

Se utiliza para factorizar polinomios de cualquier

grado y de una sola variable que acepta factores

binomios de la forma ( ax ± b)

.

Se basa en el criterio de divisibilidad de polinomios y

por tanto usa el criterio del teorema del resto en

forma inversa.

Por el teorema del resto se tiene:

• Si: P( x) ÷ ( x − a)

→ = P( a) = 0

( x − a)

Es un divisor o factor de ( x)

R , luego

P .

Por Divisores Binomios o Evaluación, se tendrá:

• Si para a

x − a = 0

− a = 0

x = , P ( a) = R = 0

, luego por

x → divisor = 0 por lo tanto ( x − a)

es un factor de P ( x)

.

CEROS DE UN POLINOMIO.- (CEROS

RACIONALES) Es el valor o conjunto de valores

que puede tomar la variable de un polinomio y hacer

que su valor numérico sea igual a cero.

REGLA PARA CALCULAR LOS POSIBLES

CEROS DE UN POLINOMIO

Posibles Ceros =

Procedimiento

Divisores del T.

I

Divisores del

er

1

coeficiente

- Determinar los ceros del polinomio.

- Deduces el factor que da lugar al cero del

polinomio, mediante el siguiente teorema de

divisibilidad algebraica: “Si un polinomio P(x)

se anula para x = a ó P(a) = 0, entonces

dicho polinomio tendrá un factor (x - a)”.

- El otro factor lo determinas utilizando el

método de Paolo Ruffini, el cual emplearas

tantas veces como ceros tengan el

polinomio, por lo general te recomiendo

llevarlo hasta un cociente de cuarto grado

para poder aplicar aspa doble especial o de

segundo grado para aplicar aspa simple.

- Cuando los términos del polinomio son

positivos, solamente pruebas lo valores

negativos.

RECOMENDACIONES

A. Cuando un polinomio es de 4to grado, antes de

aplicar el método de evaluación, veremos si se

puede descomponer en factores de 2do grado

aplicando el método del aspa doble y luego a

cada factor le aplicamos el aspa simple y

cuando admitan factores de 1er grado.

B. Cuando un polinomio es de 5to grado,

aplicamos el método de evaluación y

encontramos un factor, quedando el cociente

de 4to grado al cual trataremos como ene el

caso anterior

E. MÉTODO DE LOS ARTIFICIOS DE CÁLCULO.

Este método consiste en darle forma adecuada al

polinomio; operando en forma conveniente,

realizando cambios de variables o sumando y

restando una misma cantidad con la finalidad de

hacer más sencilla su factorización o sea hacer

figurar productos conocidos.

En este caso el estudiante va a volcar todos los

conocimientos adquiridos en Productos Notables, ya

sea por lo aprendido en la parte práctica o los

artificios a emplear que son frecuentes en esta parte.

E.1 CAMBIO DE VARIABLES

Consiste en buscar expresiones iguales, directa o

indirectamente a través de ciertas

transformaciones para luego proceder a un

cambio de variable que permitirá transformar una

expresión aparentemente compleja en otra más

simple.

---

Pg. 4

GRUPO MATEMÁTICO

ÁLGEBRA

CÉSAR H. AGUILAR RAMOS

E.2 ARTIFICIO DEL “QUITA Y PON” O

REDUCCIÓN A DIFERENCIA DE CUADRADOS

Consiste en sumar y restar una expresión (quitar

y poner) de modo tal que haciendo ciertas

reducciones logres formar un trinomio cuadrado

perfecto y como consecuencia de ésta situación

se forma una diferencia de cuadrados.

E.3 SUMAS Y RESTAS ESPECIALES

Consiste en sumar y restar una o varias

expresiones en forma conveniente de tal modo

que se formen uno de los trinomios (x 2 +x +1) ó

(x 2 – x +1) ambos componentes de una diferencia

o suma de cubos ( x 3 -1 ó x 3 + 1 ). Algunas

veces se forman trinomios de la forma: x 2 + x -1

ó x 2 – x - 1

I. Factorizar cada una de las siguientes expresiones:

B m. n,

p = m − 4 p − 4mn

+ 4n

2 2

2

1. ( )

T r, s,

t,

v = r − 2rs

+ s − t + 2tv

− v

2

2 2

2

2. ( )

3. P( x) = x

6 − x

4 + 2x

2 − 1

2 2 2 2

4. D( a,

b,

c,

d ) = b + c − a − d + 2ad

+ 2bc

5. Q( x) = x 8 − 1

6 4 2 3 2 3 2

6. R( x, y,

x) = x + y + z + zx y − 2x

z − 2y

z

A =

a, b = a + a + a b − b − ab − b

3 2 2 3 2 2

7. ( )

5 4 3 2

8. M ( x) = x − x − 2x

+ 2x

+ x −1

9. j

10. j