FACTORIZACION casos resumen

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FACTORIZACIÓN 

Caso I: Factor Común 

Cómo Reconocer: Existe un factor común en todos 

los términos. Los números pueden factorizarse en este 

caso si existe máximo común divisor (MCD) entre 

ellos. 

• ax+bx = x(a+b) 

• ax 3 -bx 2 = x 2 (ax-b) 

• 2b 5 -b 3 = b 3 (2b 2 -1) 

Ejemplos 

Cómo Factorizar: Hallar el MCD, tomar las letras 

comunes con el menor exponente. Abrir paréntesis y 

• 24ax+18bx = 6x(4a+3b) 

dividir cada término entre el factor común (restando 24 – 18 2⇐ 

los exponentes). 

12 – 9 2 

6 – 9 2 MCD = 2 . 3 = 6 

3 – 9 3⇐ 

1 – 3 3 

1 

Caso I Especial • 2x(a+1)-3y(a+1) = (a+1)(2x-3y) 

Cómo Reconocer: El factor común es un conjunto 

entre paréntesis. 

Cómo Factorizar: Tomar el paréntesis común y 

dividir cada término entre el común 

• a(m-2)-m+2 

a(m-2)-(m-2) = (m-2)(a-1) 

• x(a-b)+a-b 

x(a-b)+(a-b) = (a-b)(x+1) 

Caso II: Factor común por agrupación • ax+bx-ay-by = (ax+bx)-(ay+by) 

Cómo Reconocer: Son cuatro términos, a veces son 

= x(a+b) - y(a+b) 

seis u ocho términos 

= (a+b)(x-y) 

Cómo Factorizar: Formar dos grupos y factorizar 

cada grupo como el caso I y luego el resultado 

factorizar como el caso I especial. 

• ax 2 -x+ax-1 = (ax 2 -x)+(ax-1) 

= x( ax-1) +(ax-1) 

= (ax-1)(x+1) 

Caso III: Trinomio cuadrado perfecto • a 2 +2ab+b 2 = (a+b) 2 

Cómo Reconocer: Siempre son tres términos. 

El primero y el tercero siempre son positivos y tienen 

raíz cuadrada. 

• x 2 -2xy+y 2 = (x-y) 2 

• 4x 2 -12xy+9y 2 = (2x-3y) 2 prueba: 2(2x)(3y) =12xy 

Cómo Factorizar: Sacar raíz cuadrada del primero, 

signo del segundo y raíz cuadrada del tercero. Asociar 

entre paréntesis y elevar al cuadrado. 

2 

• 

x 

− 5xy 

4 

3 

+ 25y 

6 

⎛ x 

= ⎜ − 5y 

⎝ 2 

3 

2 

⎞ 

⎟ 

⎠ 

prueba : 

⎛ x ⎞ 

2⎜ 

⎟ 

⎝ 2 ⎠ 

3 3 

( 5y 

) = 5xy 

Caso III Especial (a+1) 2 +2(a+1)(2a-3)+(2a-3) 2 

Cómo Reconocer: Son tres términos con paréntesis. 

El primero y el tercero siempre son positivos y tienen 

raíz cuadrada. 

[(a+1)+(2a-3)] 2 

[ a+1 + 2 a-3 ] 2 

Cómo Factorizar: Sacar raíz cuadrada del primero, 

signo del segundo y raíz cuadrada del tercero. Asociar 

[3a-2] 2 

entre corchetes y elevar al cuadrado. 

Caso IV: Diferencia de cuadrados • a 2 – b 2 = (a – b) (a + b) 

Cómo Reconocer: Siempre son dos términos que 

tienen raíz cuadrada, siempre es una resta 

• 4x 2 – 9y 2 = (2x + 3y) (2x – 3y) 

2 

x 16 ⎛ x 4 ⎞⎛ 

x 4 ⎞ 

• = ⎜ − ⎟⎜ 

+ ⎟ 

⎠ 

− 

3 

Cómo Factorizar: Abrir dos pares de paréntesis: uno 

con menos (-) y el otro con más (+). Sacar raíz 

cuadrada del primero y del segundo. Repetir lo mismo 

en los dos paréntesis. 

25 

6 

y ⎝ 5 

3 

y ⎠⎝ 

5 y 

Caso IV Especial • (a+b) 2 – c 2 = [(a+b)+c][(a+b)-c] = [a+b+c][a+b-c] 

Cómo Reconocer: Uno o los dos términos son 

conjuntos entre paréntesis y que tienen raíz cuadrada, 

el signo afuera de los parentesis es menos (-) 

Cómo Factorizar: Abrir dos pares de corchetes, uno 

con menos [-] y el otro con más [+]. Sacar raíz 

cuadrada de los dos términos. Repetir lo mismo en los 

dos corchetes. Eliminar paréntesis y reducir términos 

semejantes. 

• 49(x –1) 2 – 9(3 – x) 2 

[7(x-1) – 3(3 –x)] [7(x-1) + 3(3 –x)] 

[7x – 7 – 9 + 3x] [7x – 7 + 9 – 3x] 

[10x – 16] [4x + 2]

Combinación Caso III y IV 

Cómo Reconocer: Son cuatro términos, tres de ellos 

tienen raíz cuadrada. A veces son seis términos, 

cuatro de los cuales tienen raíz cuadrada. 

Cómo Factorizar: Cuando son cuatro términos 

formar un trinomio cuadrado perfecto entre paréntesis 

y factorizar por el caso III, el resultado factorizar por 

el caso IV Especial 

Cuando son seis términos formar dos trinomios 

cuadrado perfecto y factorizar por el caso III, el 

resultado factorizar por el caso IV Especial 

CasoV: Trinomio cuadrado por 

Adición y Sustracción 

Cómo Reconocer: Siempre son tres términos. El 

primero y tercero siempre son positivos, tienen raíz 

cuadrada y sus exponentes son múltiplos de cuatro 

(4, 8, 12, etc) 

Cómo Factorizar: Resolver como caso III y restar lo 

que le falta para ser un trinomio cuadrado perfecto. El 

resultado factorizar como el caso IV Especial. 

Ejemplos 

• a 2 +2ab + b 2 – c 2 = (a 2 +2ab + b 2 ) – c 2 

(a + b) 2 – c 2 

[(a +b) –c] [(a +b) +c] 

[a + b – c] [a + b + c] 

• a 2 - x 2 – 2xy – y 2 = a 2 – (x 2 + 2xy + y 2 ) 

= a 2 – (x+y) 2 

• a 2 +2ab + b 2 - x 2 + 2xy – y 2 

= [a – (x+y)][a + (x+y)] 

= [a – x - y] [a + x + y] 

(a 2 +2ab + b 2 ) - (x 2 - 2xy + y 2 ) 

(a + b) 2 – (x – y) 2 

[(a + b) – (x – y)][ (a + b) + (x – y)] 

[ a + b – x + y ][ a + b + x – y ] 

• x 4 + x 2 y 2 + y 4 =(x 2 + y 2 ) 2 – x 2 y 2 

+ x 2 y 2 =[(x 2 + y 2 ) – xy] [(x 2 + y 2 ) + xy] 

+2x 2 y 2 =[ x 2 + y 2 – xy] [ x 2 + y 2 + xy] 

=[ x 2 – xy + y 2 ] [ x 2 + xy + y 2 ] 

• 25x 4 + 21x 2 y 2 + 9y 4 =(5x 2 + 3y 2 ) 2 – 9x 2 y 2 

+ 9x 2 y 2 =[(5x 2 + 3y 2 ) – 3xy] [(5x 2 + 3y 2 ) + 3xy] 

+ 30x 2 y 2 =[ 5x 2 + 3y 2 – 3xy] [ 5x 2 + 3y 2 + 3xy] 

=[ 5x 2 – 3xy + 3y 2 ] [ 5x 2 + 3xy + 3y 2 ] 

Caso V Especial 

Cómo Reconocer: Siempre son dos términos 

positivos que tienen raíz cuadrada y cuyos exponentes 

son múltiplos de cuatro (4, 8 12, etc) 

Cómo Factorizar: Sacar raíz cuadrada a ambos 

términos, asociar entre paréntesis y elevar al 

cuadrado, restar el doble del primero por el segundo y 

el resultado factorizar por el caso IV Especial 

• x 4 + 4y 4 

(x 2 + 2y 2 ) 2 – 4x 2 y 2 

[(x 2 + 2y 2 ) – 2xy] [ (x 2 + 2y 2 ) + 2xy] 

[ x 2 + 2y 2 – 2xy] [ x 2 + 2y 2 + 2xy] 

[ x 2 – 2xy + 2y 2 ] [ x 2 + 2xy + 2y 2 ] 

• 64x 4 + y 8 

(8x 2 + y 4 ) 2 – 16x 2 y 4 

[(8x 2 + y 4 ) – 4xy 2 ] [(8x 2 + y 4 ) + 4xy 2 ] 

[ 8x 2 + y 4 – 4xy 2 ] [ 8x 2 + y 4 + 4xy 2 ] 

[ 8x 2 – 4xy 2 + y 4 ] [ 8x 2 + 4xy 2 + y 4 ] 

Caso VI: Trinomio de la forma x 2 + bx + c • x 2 + 5x + 6 = (x + 3)(x + 2) 

Cómo Reconocer: Tiene la forma x 2 + bx + c 

Cómo Factorizar: Abrir dos pares de paréntesis, 

colocar la raíz cuadrada del primero en cada 

paréntesis; en el primer paréntesis poner el signo del 

segundo término y en el segundo paréntesis poner la 

multiplicación de los signos de segundo y tercer 

término. 

Si los signos de los paréntesis son iguales, buscar dos 

números que sumados den el segundo y multiplicado 

den el tercer término. 

Si los signos de los paréntesis son opuestos, buscar 

dos números que restados den el segundo y 

multiplicados den el tercer término. El número mayor 

se anota en el primer paréntesis. 

• x 2 – 7x + 6 = (x - 6)(x - 1) 

• x 2 – 3x – 10 = (x – 5)(x + 2) 

• x 2 + x – 20 = (x + 5)(x - 4) 

Caso VI Especial 

• x 4 y 6 – 2x 2 y 3 – 15 = (x 2 y 3 - 5)(x 2 y 3 + 3) 

• x 2 + 7ax + 12a 2 = (x + 4a)(x + 3a) 

• (5x) 2 + 4(5x) – 12 = (5x + 6)(5x -2) 

• - x 2 + 3x + 28 = -(x 2 –3x –28) 

-(x - 7)(x + 4) 

(7 – x)(x + 4)

Caso VII: Trinomio de la Forma ax 2 + bx + c 

Cómo Reconocer: Tiene la forma ax 2 + bx + c 

Aspa Simple: Descomponer el primer y tercer término en 

dos factores, multiplicar en diagonal y sumar sus 

resultados, si la suma da el segundo término, entonces 

poner cada fila entre paréntesis. 

Ejemplos 

• 10 x 2 – 9 x + 2 = (5x – 2) (2x – 1) 

5x -2 = -4x 

2x -1 = -5x . 

-9x 

Otro Método: Abrir dos pares de paréntesis. Colocar el 

coeficiente del primer término en cada paréntesis y en el 

denominador. Multiplicar el primer término con el tercero 

y proseguir como el caso VI, luego simplificar el 

denominador con los coeficientes de un paréntesis, si 

sobra algo en el denominador usarlo para simplificar con 

el otro paréntesis. 

• 3x 2 +5 x + 2 

1 1 

⎛ ⎞⎛ 

⎞ 

⎜3/ 

x + 3/ 

⎟⎜3 

x + 2⎟ 

⎝ ⎠⎝ 

⎠ 

= 

3/ 

1 

• 6x 2 –7x – 3 

2 3 3 1 

⎛ ⎞⎛ 

⎞ 

⎜6/ 

x − 9/ 

⎟⎜6/ 

x + 2/ 

⎟ 

⎝ ⎠⎝ 

⎠ 

= 

6/ 

2/ 

1 

6 

( x + 3)( 3x 

+ 2) 

( 2x 

− 3)( 3x 

+ 1) 

Caso VIII: Cubo Perfecto de un Binomio • a 3 + 3 a 2 b + 3ab 2 + b 3 = (a + b) 3 

18 

Cómo Reconocer: Siempre son 4 términos, todos 

positivos o intercalados (+ , - , + , - ) y el primer y cuarto 

término tienen raíz cúbica. 

Cómo Factorizar: Sacar raíz cúbica del primero, poner 

signo positivo, si todos son positivos, signo negativo, si 

son intercalados, sacar raíz cúbica del cuarto término, 

asociar entre paréntesis y elevar al cubo. 

• X 3 – 3 x 2 y + 3xy 2 – y 3 = (x - y) 3 

• 8 + 12 a 2 + 6 a 4 + a 6 = (2 + a 2 ) 3 

 

prueba 3(2)2 (a 2 ) = 12a 2 

3(2)(a 2 ) 2 = 6a 4 

• 125 a 3 –150 a 2 b + 60 ab 2 – 8b 3 = (5a – 2b) 3 

 

prueba 

3(5a)2 (2b) = 150a 2 b 

3(5a)(2b) 2 = 60ab 2 

Caso IX: Suma o Diferencia de Cubos • x 3 + y 3 = (x + y)(x 2 – xy + y 2 ) 

Cómo Reconocer: Siempre son dos términos sumados o 

restados que tienen raíz cúbica 

Cómo Factorizar: 

Cuando es una suma (x 3 + y 3 ): Abrir dos pares de 

paréntesis, en el primer paréntesis sacar raíz cúbica del 

primero más (+) raíz cúbica del segundo, en el segundo 

paréntesis: el primero al cuadrado menos (-) el primero 

por el segundo más (+) el segundo al cuadrado. 

Cuando es una resta (x 3 - y 3 ): Abrir dos pares de 

paréntesis, en el primer paréntesis sacar raíz cúbica del 

primero menos (-) raíz cúbica del segundo, en el segundo 

paréntesis: el primero al cuadrado más (+) el primero por 

el segundo más (+) el segundo al cuadrado. 

• a 3 - b 3 = (a – b)(a 2 + ab + b 2 ) 

• 8x 3 – 125 = (2x – 5)[(2x) 2 + (2x)(5) + (5) 2 ] 

= (2x - 5)(4x 2 + 10x + 25) 

Caso IX Especial 

• x 3 + (x - 1) 3 = [x + (x - 1)][x 2 – x(x-1) + (x-1) 2 ] 

= (x + x - 1)(x 2 –x 2 +x + x 2 –2x + 1) 

=(2x - 1)(x 2 – x +1) 

• (5x - 1) 3 – (2x + 3) 3 

=[(5x - 1) - (2x + 3)][(5x - 1) 2 + (5x - 1)(2x + 3) +(2x + 3) 2 ] 

=[5x -1 - 2x -3][25x 2 –10x+1+10x 2 +15x –2x –3+4x 2 +12x+9] 

=(3x - 4)(39x 2 + 15x + 7) 

Caso X: Suma o Diferencia de dos Potencias Iguales • x 5 + y 5 = (x + y)(x 4 – x 3 y + x 2 y 2 – xy 3 + y 4 ) 

Cómo Reconocer: Siempre son dos términos sumados o 

restados que tienen raíz quinta, séptima u otra raíz impar. 

Cómo Factorizar: Abrir dos pares de paréntesis, en el 

primer paréntesis sacar raíz de ambos términos y en el 

segundo paréntesis poner un polinomio donde el primer 

término vaya decreciendo y el segundo término vaya 

creciendo. 

Si es una suma, el polinomio es de signos intercalados y 

si es una resta, el polinomio es de signos positivos. 

• a 7 – b 7 =(a - b)(a 6 +a 5 b+a 4 b 2 +a 3 b 3 +a 2 b 4 +ab 5 +b 6 ) 

• x 5 – 1 = (x - 1)(x 4 + x 3 + x 2 + x + 1) 

• 1 + x 7 =(1 + x)(1 – x + x 2 – x 3 + x 4 – x 5 + x 6 ) 

• x 5 – 32 =(x - 2)(x 4 + x 3 .2 + x 2 .2 2 + x.2 3 + 2 4 ) 

=(x – 2)(x 4 + 2x 3 + 4x 2 + 8x+ 16)

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