Calle Mercado # 555 Teléfono 3 366191 Caso I: Factor Común Cómo Reconocer: Existe un factor común en todos los términos. Los números pueden factorizarse en este caso si existe máximo común divisor (MCD) entre ellos. Ejemplos • • • Cómo Factorizar: Hallar el MCD, tomar las letras comunes con el menor exponente. Abrir paréntesis y dividir cada término entre el factor común (restando los exponentes). • 24 – 18 12 – 9 6– 9 3– 9 1– 3 1 Caso I Especial • Cómo Reconocer: El factor común es un conjunto entre paréntesis. • Cómo Factorizar: Tomar el paréntesis común y dividir cada término entre el común • Caso II: Factor común por agrupación Cómo Reconocer: Son cuatro términos, a veces son seis u ocho términos • Cómo Factorizar: Formar dos grupos y factorizar cada grupo como el caso I y luego el resultado factorizar como el caso I especial. • Caso III: Trinomio cuadrado perfecto • Cómo Reconocer: Siempre son tres términos. El primero y el tercero siempre son positivos y tienen raíz cuadrada. • Cómo Factorizar: Sacar raíz cuadrada del primero, signo del segundo y raíz cuadrada del tercero. Asociar entre paréntesis y elevar al cuadrado. 2⇐ 2 2 3⇐ 3 MCD = 2 . 3 = 6 prueba: • • x2 x − 5xy 3 + 25 y 6 = − 5 y3 4 2 2 Caso III Especial Cómo Reconocer: Son tres términos con paréntesis. El primero y el tercero siempre son positivos y tienen raíz cuadrada. Cómo Factorizar: Sacar raíz cuadrada del primero, signo del segundo y raíz cuadrada del tercero. Asociar entre corchetes y elevar al cuadrado. Caso IV: Diferencia de cuadrados • Cómo Reconocer: Siempre son dos términos que tienen raíz cuadrada, siempre es una resta • Cómo Factorizar: Abrir dos pares de paréntesis: uno con menos (-) y el otro con más (+). Sacar raíz cuadrada del primero y del segundo. Repetir lo mismo en los dos paréntesis. Caso IV Especial • Cómo Reconocer: Uno o los dos términos son conjuntos entre paréntesis y que tienen raíz cuadrada, el signo afuera de los parentesis es menos (-) Cómo Factorizar: Abrir dos pares de corchetes, uno con menos [-] y el otro con más [+]. Sacar raíz cuadrada de los dos términos. Repetir lo mismo en los dos corchetes. Eliminar paréntesis y reducir términos semejantes. • • x 2 16 x 4 − 6 = − 25 y 5 y3 x 4 + 5 y3 prueba : 2 x (5 y 3 ) = 5xy 3 2 Combinación Caso III y IV Ejemplos Cómo Reconocer: Son cuatro términos, tres de ellos tienen raíz cuadrada. A veces son seis términos, cuatro de los cuales tienen raíz cuadrada. • Cómo Factorizar: Cuando son cuatro términos formar un trinomio cuadrado perfecto entre paréntesis y factorizar por el caso III, el resultado factorizar por el caso IV Especial • Cuando son seis términos formar dos trinomios cuadrado perfecto y factorizar por el caso III, el resultado factorizar por el caso IV Especial • CasoV: Trinomio cuadrado por Adición y Sustracción Cómo Reconocer: Siempre son tres términos. El primero y tercero siempre son positivos, tienen raíz cuadrada y sus exponentes son múltiplos de cuatro (4, 8, 12, etc) Cómo Factorizar: Resolver como caso III y restar lo que le falta para ser un trinomio cuadrado perfecto. El resultado factorizar como el caso IV Especial. Caso V Especial • • • Cómo Reconocer: Siempre son dos términos positivos que tienen raíz cuadrada y cuyos exponentes son múltiplos de cuatro (4, 8 12, etc) Cómo Factorizar: Sacar raíz cuadrada a ambos términos, asociar entre paréntesis y elevar al cuadrado, restar el doble del primero por el segundo y el resultado factorizar por el caso IV Especial • Caso VI: Trinomio de la forma x2 + bx + c • Cómo Reconocer: Tiene la forma x2 + bx + c • Cómo Factorizar: Abrir dos pares de paréntesis, colocar la raíz cuadrada del primero en cada paréntesis; en el primer paréntesis poner el signo del segundo término y en el segundo paréntesis poner la multiplicación de los signos de segundo y tercer término. Si los signos de los paréntesis son iguales, buscar dos números que sumados den el segundo y multiplicado den el tercer término. Si los signos de los paréntesis son opuestos, buscar dos números que restados den el segundo y multiplicados den el tercer término. El número mayor se anota en el primer paréntesis. • • Caso VI Especial • • • • Caso VII: Trinomio de la Forma ax2 + bx + c 2 Cómo Reconocer: Tiene la forma ax + bx + c Ejemplos • = -2 = -4x 5x Aspa Simple: Descomponer el primer y tercer término en dos factores, multiplicar en diagonal y sumar sus resultados, si la suma da el segundo término, entonces poner cada fila entre paréntesis. 2x -1 = -5x . -9x 6 Otro Método: Abrir dos pares de paréntesis. Colocar el coeficiente del primer término en cada paréntesis y en el denominador. Multiplicar el primer término con el tercero y proseguir como el caso VI, luego simplificar el denominador con los coeficientes de un paréntesis, si sobra algo en el denominador usarlo para simplificar con el otro paréntesis. • 1 1 3/ x + 3/ 3 x + 2 = ( x + 3)(3 x + 2 ) 3/ 1 18 • 2 3 3 1 6/ x − 9/ 6/ x + 2/ 6/ 2/ 1 Caso VIII: Cubo Perfecto de un Binomio • Cómo Reconocer: Siempre son 4 términos, todos positivos o intercalados (+ , - , + , - ) y el primer y cuarto término tienen raíz cúbica. • • Cómo Factorizar: Sacar raíz cúbica del primero, poner signo positivo, si todos son positivos, signo negativo, si son intercalados, sacar raíz cúbica del cuarto término, asociar entre paréntesis y elevar al cubo. • Caso IX: Suma o Diferencia de Cubos • Cómo Reconocer: Siempre son dos términos sumados o restados que tienen raíz cúbica • • Cómo Factorizar: Cuando es una suma (x3 + y3): Abrir dos pares de paréntesis, en el primer paréntesis sacar raíz cúbica del primero más (+) raíz cúbica del segundo, en el segundo paréntesis: el primero al cuadrado menos (-) el primero por el segundo más (+) el segundo al cuadrado. Cuando es una resta (x3 - y3): Abrir dos pares de paréntesis, en el primer paréntesis sacar raíz cúbica del primero menos (-) raíz cúbica del segundo, en el segundo paréntesis: el primero al cuadrado más (+) el primero por el segundo más (+) el segundo al cuadrado. Caso IX Especial • • Caso X: Suma o Diferencia de dos Potencias Iguales • Cómo Reconocer: Siempre son dos términos sumados o restados que tienen raíz quinta, séptima u otra raíz impar. • • Cómo Factorizar: Abrir dos pares de paréntesis, en el primer paréntesis sacar raíz de ambos términos y en el segundo paréntesis poner un polinomio donde el primer término vaya decreciendo y el segundo término vaya creciendo. Si es una suma, el polinomio es de signos intercalados y si es una resta, el polinomio es de signos positivos. • • = (2 x − 3)(3x + 1)