LOS 10 CASOS DE FACTORIZACION FACTORIZACION Es una técnica que consiste en la descripción de una expresión matemática (que puede ser un número, una suma, una matriz, un polinomio, etc.) en forma de producto. Existen diferentes métodos de factorización, dependiendo de los objetos matemáticos estudiados; el objetivo es simplificar una expresión o reescribirla en términos de bloques fundamentales, que recibe el nombre de factores, como por ejemplo un número en números primos, o un polinomio en polinomios irreducibles.  FACTORES Se llama factores o divisores de una expresión algebraica a las expresiones algebraicas que multiplicadas entre si dan como producto la primera expresión. Ejemplo:                   a(a + b) = a2 + ab (x + 2) (x +3) = x2 + 5x + 6 (m + n) (m- n) = m2  - mn - n2  CASOS DE FACTORIZACION CASO I CUANDO TODOS LOS TERMINOS DE UN POLINOMIO TIENEN UN FACTOR COMUN Factor Común Monomio: Ejemplo 1: 14x2 y2  - 28x3 + 56x4 R: 14x2  (y2  - 2x + 4x2)            Ejemplo 2: X3 + x5 – x7          R:  x3 (1 + x2  - x4)          Ejemplo 3: 100a2 b3c –150ab2c2  + 50 ab3c3 - 200abc2 R:  50abc (2ab2 – 3bc  +b2c2 – 4c)        Factor Común Polinomio: Ejemplo 1: a(x + 1) + b(x + 1) R: (x + 1) (a +b) Ejemplo 2: (3x + 2) (x + y – z) – (3x + 2) -  (x + y – 1)( 3x +2) R: (3x + 2) (x + y – z) – (3x + 2)(1) – ( x - y +1)( 3x +2)      (3x + 2) (x + y – z -1 –x - y + 1) -z ( 3x +2) CASO II FACTOR COMUN POR AGRUPACION DE TERMINO Ejemplo 1: a2 + ab + ax + bx (a2 + ab)  +  (ax + b) a(a + b) + x(a +b) (a + b) (a +x) Ejemplo 2: 4am3 – 12 amn – m2  + 3n = (4am3 – 12amn) – (m2 +  3n) =4am (m2 – 3n) – (m2 + 3n) R: (m2 – 3n)(4am-1) CASO III TRINOMIO CUADRADO PERFECTO Ejemplo 1; a2 – 2ab + b2 Raíz cuadrada  de a2  = a Raíz cuadrada  de b2   = b Doble producto sus raíces (2 X a  X b) 2ab  (cumple)    R: (a – b) 2 Ejemplo 2: 49m 6– 70 am3n2 + 25 a2n4 Raíz cuadrada  de 49m6  = 7m3   Raíz cuadrada  de 25a2n4  = 5an2 Doble producto sus raíces (2 X 7m3  X  5a2n2) =  70am3 n2  (cumple)    R: (7m – 5an2) Ejemplo 3: 9b2 – 30 ab + 25a2 Raíz cuadrada  de 9b2  = 3b   Raíz cuadrada  de 25 a2= 5a Doble producto sus raíces (2 X 3b  X  5a) =  30ab  (cumple)   R: (3b - 5a) 2 CASO ESPECIAL Ejemplo 1: a2 + 2a (a – b) + (a – b) 2 Raíz cuadrada  de a2  = a   Raíz cuadrada  de (a – b) 2 = (a – b) Doble producto sus raíces (2 X a  X  (a – b) =  2a(a – b) (cumple)    R: (a + (a – b)) 2     (a + a – b) = (2a –b) 2    Ejemplo 2:  (x + y) 2 – 2(x+ y)(a + x) + (a + x) 2 Raíz cuadrada  de (x + y)2  =(x + y)   Raíz cuadrada  de (a + x) 2 = (a + x) Doble producto sus raíces (2 X (x + y)  X  (a + x)) =  2(x +y)(a + x) (cumple)    R: ((x +y) – (a + x)) 2     (x + y – a – x) 2 = (y – a) 2 CASO IV DIFERENCIA DE CUADRADOS PERFECTOS  Ejemplo 1: X2 - y 2 x      y  = Raíces  Se multiplica la suma por la diferencia                 R: = (x + y) (x- y)    Ejemplo 2:   100m2n4 - 169y6 10mn2           13y3 =  Raíces Se multiplica la suma por la diferencia                                R: = (10mn2 + 13y3) (10mn2- 13y3)   Ejemplo 3:   1 - 9a2b4c6d8 1       3 ab2c3d4    =  Raíces Se multiplica la suma por la diferencia                                R: = (1 + 3 ab2c3d4) (1- 3 ab2c3d4) CASO ESPECIAL Ejemplo 1: (a - 2b)2 - (x +  y)2   (a - 2b)      (x + y)   = Raíces  Se multiplica la suma por la diferencia           R: = ((a - 2b) + (x + y))  ((a - b) -  (x + y))                   (a - 2b + x + y)   (a -2b - x - y)   Ejemplo 2:  16a10 - (2a2 + 3) 2 4a5         (2a2 + 3)  =  Raíces Se multiplica la suma por la diferencia                                     R: = ((4a5 + (2a2 + 3))( 4a5 - (2a2 + 3))                                    (4a5 + 2a2 + 3)(4a5 - 2a2 - 3)   Ejemplo 3:   36(m + n)2 - 121(m - n)2 6(m + n)           11(m - n)   =  Raíces Se multiplica la suma por la diferencia                                  R: = ((6(m + n) + 11(m - n)) (6(m + n) - 11(m - n))                                   (6m + 6n + 11m -11n) (6m +6n - 11m + 11n)                                   (17m + 5n ) (5m +17n)   CASOS ESPECIALES COMBINACION DE LOS CASOS III Y IV Ejemplo 1: a2 + 2ab + b2 - x2 (a2 + 2ab + b2) - x2 (a + b) 2 - x2   R : (a + b + x)(a + b - x)   Ejemplo 2: 1 - a2 + 2ax - x2 1 - (a2 + 2ax - x2) 1 - (a - x)2 R: (1 - a + x) (1 + a + x)   Ejemplo 3:  16a2 - 1 - 10m + 9x2 - 24ax - 25m2 (16a2 -24ax +  9x2) - (1 + 10m + 25m2) (4a - 3x) 2 - (1 + 5m) 2 R: (4a - 3x + 5m +1)(4a -3x -5m - 1) CASO V TRINOMIO CUADRADO PERFECTO POR ADICION Y SUSTRACCION   Ejemplo 1: a4 +    a2 + 1     +    a2       - a2 a4 + 2a2+ 1 - a2 (a4 + 2a2+ 1) - a2 (a2 + 1)2 - a2   R: (a2+ a + 1) (a2– a + 1)   Ejemplo 2:  254 + 54a2b2 + 49b4        + 16 a2b2             - 16 a2b2 254 + 70a2b2 + 49b4 - 16 a2b2 (254 + 70a2b2 + 49b4) - 16 a2b2 (5a2 + 7b)2- 16 a2b2   R: (5a2 + 7b2 + 16 ab) (5a2 + 7b2- 16 ab)      (5a2 + 16ab +7b2) (5a2 - 16 ab +7b2)   Ejemplo 3:   81a4b8 - 292a2b4x8 + 256x16               +     4 a2b4x8                  – 4 a2b4x8 81a4b8 - 288a2b4x8 + 256x16  – 4 a2b4x8 (81a4b8 - 288a2b4x8 + 256x16)  – 4 a2b4x8 (9a2b4 - 16x8)2  – 4 a2b4x8   R: (9a2b4 - 16x8 + 2 ab2x4)  (9a2b4 - 16x8 –  2 ab2x4)     (9a2b4 + 2 ab2x4- 16x8)  (9a2b4 –  2 ab2x4 - 16x8  ) CASO ESPECIAL FACTORAR UNA SUMA DE DOS CUADRADOS Ejemplo 1:  x4+ 64y4 x4                            + 64y4       + 16x2y2                  - 16x2y2       x4   + 16x2y2  + 64y4     - 16x2y2 (x4   + 16x2y2  + 64y4)   - 16x2y2 (x2   +  8y2)2   - 16x2y2 R: (x2   +  8y2 + 4xy)  (x2   +  8y2 - 4xy)     (x2   + 4xy +  8y2)  (x2   - 4xy +  8y2)   Ejemplo 2:   4m4 + 81n4 4m4                     + 81n4             + 36m2n2                 - 36m2n2 4m4  + 36m2n2  + 81n4   - 36m2n2 (4m4  + 36m2n2 +81n4)   - 36m2n2 (2m2 + 9n2)2 - 6m2n2 R: (2m2 + 9n2 - 6mn) (2m2 + 9n2 - 36mn)      (2m2 + 6mn + 9n2) (2m2  - 6mn + 9n2) Ejemplo 3:  81a4 + 64b4 81a4                   + 64b4           +144a2b2              - 144a2b2 81a4  +144 a2b2 +64b4 -144 a2b2 (81a4  +144 a2b2 +64b4) -144 a2b2 (9a2 + 8b2)2 - 144 a2b2 R: (9a2 + 8b2 - 12 ab) (9a2 + 8b2 - 12 ab)      (9a2 + 12 ab + 8b2) (9a2 - 12 ab + 8b2) CASO VI TRINOMIO DE LA FORMA                                                           x2 + bx + c Ejemplo 1: x2 + 7x + 10   R :( x + 5 )  ( x + 2 )   Ejemplo 2:   n2 + 6n – 16   R: ( n  +  8 )  ( n – 2 )   Ejemplo 3:   a2 + 42a + 432 R: ( a + 24   )   (a   + 18  ) CASOS ESPECIALES Ejemplo 1  X8 – 2x4 – 80 R: ( x4  – 10  )   (  x4   +  8  )   Ejemplo 2: (m – n)2 + 5(m – n) – 24  R: (( m – n) +   8 )   ((m – n)   –  3 )          ( m – n +   8 )   (m – n  –  3 )      Ejemplo 3: m2 + abcm – 56a2b2c2  R: ( m  +   8abc  )  (m   –  7abc)  CASO VII TRINOMIO DE LA FORMA                                                   ax2 + bx + c Ejemplo 1: 2x2 + 3x – 2 (2) 2x2 +(2) 3x –(2) 2 = 4x2 + (2) 3x – 4 = (2x +  4 )   (2x – 1 )          2         x      1 R= (x  +  2)  (2x – 1) Ejemplo 2: 16m + 15m2 – 15 15m2 + 16m – 15 15(15m2) +(15) 16m –(15) 15 = 225m2 + (15) 16m – 225 = (15 m  + 25 )   ( 15 m – 9 )                5         x        3 R= ( 3m + 5 )  ( 5m  – 3 )     Ejemplo 3: 30x2 + 13x –10   (30) 30x2 +(30) 13x – (30) 10   900x2 + (30)13x – 300 = (30x  + 25  )   (30 x – 12 )               5         x        6 = (6x + 5) (5x – 2) CASOS ESPECIALES Ejemplo 1: 6m2 – 13am – 15a2 (6) 6m2 – (6) 13am – (6)15a2 36m2 – (6) 13am – 90 a2  = (6m – 18a )   (6m  + 5a )             6         x      1 =  (m – 3a )  (6m  +  5a) Ejemplo 2: 18a2 + 17 ay – 15y2 (18) 18a2 + (18)17 ay – (18) 15y2 324a2 + (18) 17ay – 270y2 = (18a + 27  )   (18a – 10 )             9          x       2 = (2a +  3y) (9a – 5y) CASO VIII CUBO PERFECTO DE BINOMIOS Ejemplo 1: a3 + 3a2 + 3a + 1 Raíz cúbica de a3 =  a Raíz cúbica de 1   = 1 Segundo término= 3(a)2(1) = 3a2 Tercer término     = 3(a)(1)2 = 3a R: (a + 1)3 Ejemplo 2:   64x9 – 125y12 – 240x6y4 + 300x3y8 64x9 – 240x6y4 + 300x3y8 – 125y12 Raíz cúbica de 64x9 = 4x3 Raíz cúbica de 125y12  = 5y4 Segundo término= 3(4x3)2(5y4) = 240x6y4 Tercer término     = 3(4x3)(5y4)2 = 300x3y8 R: ( 4x3 – 5y4 )3  Ejemplo 3: 125x12 + 600x8y5 + 960x4y10 + 512y15 Raíz cúbica de 125x12 = 5x4 Raíz cúbica de 512y15   =8y5 Segundo término= 3(5x4)2(8y5) =600x8y5 Tercer término     = 3(5x4)(8y5)2 =960x4y10 R:  ( 5x4 + 8y5 )3     CASO IX SUMA O DIFERENCIA DE CUBOS PERFECTOS Ejemplo 1: 1 + a3   (1 + a) (12 – 1(a) +( a)2) R:(1 + a) (1 – a + a2)   Ejemplo 2: x3 – 27    (x – 3 ) ((x)2 + (x)3 + (3)2)  R: (x – 3 ) (x2 + 3x + 9)   Ejemplo 3: x6 – 8y12 (x2 – 2y4) ((x2)2 + (x2)(2y4) + (2y4)2) R: (x2 – 2y4) (x4 + 2x2 y4 + 4y8) CASOS ESPECIALES  Ejemplo 1: (m – 2)3  + (m – 3)3   ((m – 2) + (m – 3) ((m – 2)2 – ((m – 2) (m – 3) + (m – 3)2)   R: (m – 2+ m – 3) ((m2 – 4m + 4) – ((m – 2) (m – 3)) + (m2 – 6m  + 9))     (2m – 5) (m2 – 4m + 4) – (m2 – 3m  – 2m + 6) + (m2 – 6m  + 9))     (2m – 5) (m2 – 4m + 4– m2 + 3m  + 2m – 6 + m2 – 6m  + 9)     (2m – 5) (m2 – 5m +7)   Ejemplo 2: (x – y)3 – 8  ((x – y) – 2)  ((x– y)2 + 2(x – y) + (2)2)   R: (x – y – 2) (x2 – 2xy + y2 + 2x– 2y + 4)  CASO X SUMA O DIFERENCIA DE DOS POTENCIAS IGUALES Ejemplo 1: a5 + 1 a5 + 1    =  a4 – a3 + a2 – a + 1  a + 1 Ejemplo 2:  m7 – n7 m7 – n7    =  m6 + m5n + m4n2 + m3n3 + m2n4+ mn5 + n6  m – n   Ejemplo 3: x7 + 128 x7 + 128    =  x6 – 2x5 + 4x4 – 8x3 +16x2  – 32x + 64   x + 2