Funciones Lineales Introducción
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Ecuación de una función y su gráfica Expresión explicita de una recta:
m = pendiente La pendiente de una recta puede determinarse a partir de su gráfica, tomando en cuenta la proporción directa de los lados que constituyen el triángulo que se forma con dos puntos ubicados sobre ella, a ser: P (x1/y1) y Q (x2/y2).
b = ordenada al origen La ordenada al origen nos indica el lugar en el cual la recta corta al eje de ordenadas o eje y.
Probar que un punto pertenece a una recta Para poder verificar, que el punto P(x/y) pertenece a la recta g: y = mx + b, será necesario insertar las coordenadas del punto en la ecuación de la recta, sustituyendo las variables correspondientes.
Si se cumple la igualdad de la ecuación, el punto pertenece a la recta.
Si no se cumple la igualdad de la ecuación, el punto no pertenece a la recta.
Ejemplo: Dados los puntos P (1 / 5) y Q (3 / -2) y la ecuación de la recta en cuestión y = 2x + 3
el punto P (1 / 5) pertenece a la recta, dado a que 5 = 2 . 1 + 3
el punto Q (3 / -2) no pertenece a la recta, puesto que - 2 ≠ 2 . 3 + 3
Calcular la coordenada faltante de un punto que pertenece a una recta dada Para calcular la coordenada faltante de un punto P (x / ?) o Q (? / y) perteneciente a una recta dada, no hará falta más que insertar la coordenada conocida del punto dado en la ecuación de la recta, sustituyendo la variable correspondiente.
Cabe destacar ciertos puntos especiales en el estudio de una función:
ceros de la función: se sustituye a la variable y = 0
intersección con el eje de abscisas: se sustituye a la variable y = 0
intersección con el eje de ordenadas: se sustituye a la variable x = 0
Ejemplo: Buscar las coordenadas faltantes de los puntos P (1 / ?) y Q (? / - 2) , dada la ecuación de la recta y = 2x + 3
Reemplacemos x = 1: y = 2 . 1 + 3 = 5 → P (1 / 5)
Reemplacemos y = - 2: -2=2.x+3→x=
→Q(
/ -2)
Diferentes posiciones que pueden tomar dos rectas
Graficar una función lineal Primera opción:
Determinar dos puntos cualesquiera que pertenecen a la recta a partir de la inserción de valores arbitrarios para la variable x y calculando los valores que al tiempo toma la variable y.
Insertar ambos puntos en un eje de coordenadas cartesianas.
Trazar la recta que pasa por dichos puntos.
Segunda opción:
Ubicar el valor de la ordenada al origen b sobre el eje de las ordenadas o eje y.
Representar la pendiente m =
a partir del desplazamiento de x unidades a la
derecha e y unidades hacia arriba (o hacia abajo en el caso de que m sea negativa).
Ejemplo: Representar gráficamente la ecuación de la recta y = x + 1
Tomamos x = - 4 luego y = . (- 4) + 1 = - 1
Tomamos x = 4 luego y = . 4 + 1 = 3
Se tiene entonces P ( - 4 / - 1) y Q ( 4 / 3).
Determinar la ecuación de una recta Primer paso: determinar la pendiente.
Si fueran dados dos puntos P (x1/y1) y Q (x2/y2) pertenecientes a la recta, se tiene:
Si la recta debiera ser paralela a otra dada h: y = m h x + bh , se tiene:
Si la recta debiera ser perpendicular a otra dada h: y = m h x + bh , se tiene:
Segundo paso: hallar la ordenada al origen. Insertamos el valor de la pendiente, obtenido en el paso anterior, conjuntamente con las coordenadas de un punto perteneciente a la recta en la expresión explicita de una recta y despejamos el valor de b (ordenada al origen).
Ejemplo: (recta por dos puntos) Buscar la ecuación de la recta que pasa por los puntos P (1 / - 2) y Q (- 1 / 4).
=-3
4 = - 3 . (- 1) + b
→
b=1
Luego la ecuación de la recta buscada es y = - 3x + 1
Ejemplo: (recta paralela a la recta h) Buscar la ecuación de la recta que pasa por P (3 / - 2) y resulte paralela a y = - 4x + 7
m=-4
-2=-4.3+b
→
b = 10
Luego la ecuación de la recta buscada es y = - 4x + 10
Intersección entre rectas Supongamos que se desea hallar la intersección de dos rectas dadas g:y = m g x + bg e h:y = mh x + bh. Primer paso: Igualamos ambas expresiones y hallamos el valor correspondiente a la variable x. Segundo paso: Insertamos el valor de la variable x, obtenido en el paso anterior, en una de las ecuaciones dadas para obtener el valor correspondiente a la variable y.
Ejemplo: Buscar la intersección de las rectas g: y = 2x + 3 y h: y = - x + 6
2x + 3 = - x + 6
3x=3
→
x =1
y = 2x + 3 = 2 . 1 + 3 = 5
Luego el punto de intersección de las rectas dadas es P(1 / 5).