FactorizacioĚ n
Contenido
1. Introducción 1.1. Notación . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
2 2
2. Factor común 2.1. Ejercicios: factor común
. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .
4 4
3. Un binomio como factor común 3.1. Ejercicios: binomio como factor común . . . . . . . . . . . . . . . . .
9 9
4. Factorización completa 12 4.1. Ejercicios: factorización completa ................................................................ 12 5. Diferencia de cuadrados 14 5.1. Ejercicios: diferencia de cuadrados ............................................................... 14 6. Trinomio cuadrado perfecto 16 6.1. Ejercicios: trinomio cuadrado perfecto ......................................................... 16 7. Factorización de trinomios 21 7.1. Ejercicios: factorización de trinomios ........................................................... 21
1
Introducción
Este documento tiene por objetivo dar algunas técnicas usadas para factorizar expresiones algebraicas. Por lo tanto es necesario primero dar a conocer los elementos y la notación más comúnmente usadas en el manejo de las expresiones algebraicas.
1.1.
Notación
2
Conjuntos de números: 1. Números naturales: es el siguiente conjunto N = {1, 2, 3, ..... } 2. Números enteros: es el siguiente conjunto Z = {..., −2, −1, 0, 1, 2, ........} 3. Números racionales: es el siguiente conjunto a Q = { | a, b ∈ Z, b ƒ= 0} b a) Todos los números racionales tienen una expansión decimal finita o periódica. 1 a.1) = 0,25 4 1 a.2) = 0,142857 7 1 a.3) = 0,090909, .. 11 b) Si un número tiene una expansión decimal infinita y no periódica, entonces no es racional. √ √ √ 4. Números irracionales (I): son aquellos que no son racionales, como 2, 3, 5, π, e, ..
1.1. NOTACIÓN
3
5. Números reales: es el siguiente conjunto [ R =Q
I
Operaciones entre números, los números reales cumplen siempre las siguientes propiedades: 1. La suma es conmutativa, a + b = b + a. 2. La suma es asociativa, a + (b + c) = (a + b) + c. 3. Existe un número llamado cero o neutro aditivo, tal que a + 0 = a. Para todo número a existe su inverso aditivo −a, tal que a + (−a) = 0. El producto es conmutativo, a · b =b · a. El producto es asociativo, a · (b · c) = (a · b) · c. Existe un número llamado uno o neutro multiplicativo, tal que a · 1 = a. 1 1 8. Para todo número a ƒ=0 existe su inverso multiplicativo a, tal que a · a= 1. 4. 5. 6. 7.
9. La ley distributiva del producto respecto a la suma: a(b + c) = ab + ac Note que el producto entre constantes o variables se denota con un punto a ·b ó simplemente se omite el punto ab. Términos algebraicos usados: 1. Una constante es un número que no cambia de valor y se denota generalmente con alguna de las primeras letras del abecedario, como a, b, c, .. 2. Una variable representa un número que cambia de valor y se denota generalmente con las últimas letras del abecedario, como ... , x, y, z 3. Una combinación de constantes y variables con la operación producto y división se llama término, por ejemplo 2a, 3b, 2abx, 4xyz, 2, 3ax.. a bz 4. Una combinación de términos con la operación suma y resta se llama expresión, por ejemplo,a + b, 3ax − 2z, ...
3
2
Factor común
En los siguientes ejercicios se usara´ la ley de la distributividad del producto respecto a la suma a(b + c) = ab + ac Pasar del lado izquierdo al derecho de la igualdad se dice: “se distribuye a” Pasar del lado derecho al izquierdo de la igualdad se dice: “se factoriza a”
2.1.
Ejercicios: factor común
Ahora procedemos a efectuar ejemplos con un factor común. 1. Encontrar un factor común en 2a + 4 Paso 1 Buscamos el factor común de 2a y 4. Como el factor común de 2a y 4 es 2, procedemos a factorizarlo: 2a + 4 = 2 · a + 2· 2 = 2(a + 2), 2. Encontrar un factor común en 3b + 6
4
2.1. EJERCICIOS: FACTOR COMÚ N
5
Paso 1 Buscamos el factor común de 3b y 6. Como el factor común de 3b y 6 es 3, procedemos a factorizarlo: 3b + 6 = 3 · b + 3 · 2 = 3(b + 2) 3. Encontrar un factor común en a + a2 Paso 1 Buscamos el factor común de a y a2 . Como el factor común de a y a2 es a, procedemos a factorizarlo. a + a2
= a · 1 + a ·a = a(1 + a)
4. Encontrar un factor común en b2 + b3 Paso 1 Buscamos el factor común de b2 y b3 . Como el factor común de b2 y b3 es b2 , procedemos a factorizarlo. b2 + b3
= b2 · 1 + b2 · b = b2(1 + b)
5. Encontrar un factor común en 3a + 4a2 + 5a3 Paso 1 Buscamos el factor común de 3a, 4a2 y 5a3 . Como el factor común de 3a, 4a2 y 5a3 es a, procedemos a factorizarlo. 3a + 4a2+ 5a3
= (a · 3) + (a · 4a) + (a · 5a2) = a(3 + 4a + 5a2)
6. Encontrar un factor común en 5x 3 + 2x − 3x2 Paso 1 Buscamos el factor común de 5x3 , 2x y 3x 2 . Como el factor común de 5x 3 , 2x y 3x 2 es x, procedemos a factorizarlo. 5x3 +2x − 3x2
= (x · 5x2) + (x · 2) − (x · 3x) = x(5x2+ 2 − 3x)
7. Encontrar un factor común en 2a3 − 4a + 6a2
5
2.1. EJERCICIOS: FACTOR COMÚ N
6
Paso 1 Buscamos el factor común de 2a3 , 4a y 6a2 . Como el factor común de 2a3 , 4a y 6a2 es 2a, procedemos a factorizarlo. 2a3 − 4a + 6a2
= (2a · a2) − (2a · 2) + (2a · 3a) = 2a(a2 − 2 + 3a)
8. Encontrar un factor común en 4b − 12b2 + 8b3 Paso 1 Buscamos el factor común de 4b, 12b2 y 8b3 . Como el factor común de 4b, 12b2 y 8b3 es 4b, procedemos a factorizarlo. 4b − 12b2 + 8b3
= (4b · 1) − (4b · 3b) + (4b · 2b2) = 4b(1 − 3b + 2b2)
9. Encontrar un factor común en 5m2 + 10m3 − 15m5 Paso 1 Buscamos el factor común de 5m2 , 10m3 y 15m5 . Como el factor común de 5m2 , 10m3 y 15m5 es 5m2 , procedemos a factorizarlo. 5m2 + 10m3 − 15m5
= (5m2 · 1) + (5m2 · 2m) − (5m2· 3m3) = 5m2(1 + 2m − 3m3)
10. Encontrar un factor común en 2a3 b + 4a5 c − 6a2 d Paso 1 Buscamos el factor común de 2a3 b, 4a5 c y 6a2 d. Como el factor común de 2a3 b, 4a5c y 6a2 d es 2a2 , procedemos a factorizarlo. 2a3b + 4a5c − 6a2d = (2a2 · ab) + (2a2 · 2a3c) − (2a2 · 3d) = 2a2(ab + 2a3c − 3d) 11. Encontrar un factor común en 8x 2 y − 12xy 2 Paso 1 Buscamos el factor común de 8x2 y y 12xy 2 . Como el factor común de 8x 2 y y 12xy 2 es 4xy, procedemos a factorizarlo. 8x2y − 12xy2
= (4xy · 2x) − (4xy · 3y) = 4xy(2x − 3y)
12. Encontrar un factor común en 20x 3 y 2 + 25x2 y 3
6
2.1. EJERCICIOS: FACTOR COMÚ N
7
Paso 1 Buscamos el factor común de 20x3 y 2 y 25x 2 y 3 . Como el factor común de 20x3 y 2 y 25x2 y 3 es 5x 2 y 2 , procedemos a factorizarlo. 20x3y2 + 25x2y3
= (5x2y2 · 4x) + (5x2y2 · 5y) = 5x2y2(4x + 5y)
13. Encontrar un factor común en 3x 2 yz 3 + 6xy 2 z 2 Paso 1 Buscamos el factor común de 3x2 yz 3 y 6xy 2 z 2 . Como el factor común de 3x 2 yz 3 y 6xy 2 z 2 es 3xyz 2 , procedemos a factorizarlo. 3x2yz3 + 6xy2z2
= (3xyz2 · xz) + (3xyz2 · 2y) = 3xyz2(xz + 2y)
14. Encontrar un factor común en 14a2 b2 c − 21ab3 c2 Paso 1 Buscamos el factor común de 14a2 b2 c y 21ab3 c2 . Como el factor común de 14a2 b2 c y 21ab3 c2 es 7ab2 c, procedemos a factorizarlo. 14a2b2c − 21ab3c2
= (7ab2c · 2a) − (7ab2c · 3bc) = 7ab2c(2a − 3bc)
15. Encontrar un factor común en 10a4 b5 x 3 + 35a2 b7 x 2 Paso 1 Buscamos el factor común de 10a4 b5 x 3 y 35a2 b7 x2 . Como el factor común de 10a4 b5 x 3 y 35a2 b7 x 2 es 5a2 b5 x 2 , procedemos a factorizarlo. 10a4b5x3 + 35a2b7x2
= (5a2b5x2 · 2a2x) + (5a2b5x2 · 7b2) = 5a2b5x2(2a2x + 7b2)
16. Encontrar un factor común en 45ax 3 by + 9a2 xb3 y Paso 1 Buscamos el factor común de 45ax 3 by y 9a2 xb3 y. Como el factor común de 45ax 3 by y 9a2 xb3 y es 9axby, procedemos a factorizarlo. 45ax3by + 9a2xb3y
= (9axby · 5x2) + (9axby · ab2) = 9axby(5x2 + ab2)
17. Encontrar un factor común en 12ab + 3abc + 6bcd
7
2.1. EJERCICIOS: FACTOR COMÚ N
8
Paso 1 Buscamos el factor común de 12ab, 3abc y 6bcd. Como el factor común de 12ab, 3abc y 6bcd es 3b, procedemos a factorizarlo. 12ab + 3abc + 6bcd = (3b · 4a) + (3b · ac) + (3b · 2cd) = 3b(4a + ac + 2cd) 18. Encontrar un factor común en 15ab2 − 25a3 b + 30a3 b2 c Paso 1 Buscamos el factor común de 15ab2 , 25a3 b y 30a3 b2 c. Como el factor común de 15ab2 , 25a3 b y 30a3 b2 c es 5ab, procedemos a factorizarlo. 15ab2 − 25a3b + 30a3b2c = (5ab · 3b) − (5ab · 5a2) + (5ab · 6a2bc) 2
= 5ab(3b − 5a + 6a bc)
2
19. Encontrar un factor común en 45a5 b3 x 6 y 2 + 15a2 b3 x3 yd Paso 1 Buscamos el factor común de 45a5 b3 x 6 y 2 y 15a2 b3 x3 yd. Como el factor común de 45a5 b3 x6 y 2 y 15a2 b3 x 3 yd es 15a2 b3 x 3 y, procedemos a factorizarlo. 45a5b3x6y2 + 15a2b3x3yd = (15a2b3x3y · 3a3x3y) + (15a2b3x3y · d) = 15a2b3x3y(3a3x3y + d) 20. Encontrar un factor común en 35a2 bc5 y 2 − 21a2 bc3 y + 49ab2 c3 y 3 m Paso 1 Buscamos el factor común de 35a2 bc5 y 2 , 21a2 bc3 y y 49ab2 c3 y 3 m. Como el factor común de 35a2 bc5 y 2 , 21a2 bc3 y y 49ab2 c3 y 3 m es abc3 y, procedemos a factorizarlo. 35a2bc5y2 − 21a2bc3y + 49ab2c3y3m = (7abc3y · 5ac2y) − (7abc3y · 3a) +(7abc3y · 7by2m) = 7abc3y(5ac2y − 3a + 7by2m)
8
3
Un binomio como factor común
En esta serie de problemas, debemos factorizar un binomio, que sin embargo sigue la misma idea que los anteriores problemas, es decir, se aplica la ley a(b + c) = ab + ac.
3.1.
Ejercicios: binomio como factor común
1. Factorizar x(m + n) + y(m + n) Paso 1 Buscamos el factor común de x(m + n) y y(m + n), como el factor común de x(m + n) y y(m + n) es (m + n), podemos factorizarlo. x(m + n) + y(m + n) = (m + n)(x + y). 2. Factorizar a(x − y) + b(x − y) Paso 1 Buscamos el factor común de a(x − y) y b(x − y), como el factor común de a(x − y) y b(x − y) es (x − y),podemos factorizarlo. a(x − y) + b(x − y) = (x − y)(a + b). 3. Factorizar r(m + n) − s(m + n) Paso 1 Buscamos el factor común de r(m + n) y s(m + n), como el factor común de r(m + n) y s(m + n) es (m + n), podemos factorizarlo. r(m + n) − s(m + n) = (m + n)(r − s).
9
3.1. EJERCICIOS: BINOMIO COMO FACTOR COMÚN
10
4. Factorizar x(a + b) + a + b Paso 1 Asociamos los términos: x(a + b) + a + b = x(a + b) + (a + b) Paso 2 Buscamos el factor común de x(a + b) y (a + b), como el factor común es (a + b), entonces: x(a + b) + a + b = x · (a + b) + 1 · (a + b) = (a + b)(x + 1). 5. Factorizar x(a + b) − a − b Paso 1 Factorizamos a −1 de −a − b: x(a + b) − a − b = x(a + b) − (a + b) Paso 2 Buscamos el factor común de x(a + b) y (a + b), como el factor común es (a + b), entonces: x(a + b) − a − b = x · (a + b) − 1 · (a + b) = (a + b)(x − 1). 6. Factorizar a(c − d) + xc − xd Paso 1 Factorizamos a x de xc − xd: a(c − d) + xc − xd = a(c − d) + x(c − d) Paso 2 Buscamos el factor común de a(c − d) y x(c − d), como el factor común es (c − d), entonces: a(c − d) + xc − xd = a · (c − d) + x · (c − d) = (c − d)(a + x).
10
3.1. EJERCICIOS: BINOMIO COMO FACTOR COMÚN
11
7. Factorizar a(m + 2n) + bm + 2bn Paso 1 Factorizamos a b de bm +2bn: a(m + 2n) + bm + 2bn = a(m + 2n) + b(m + 2n) Paso 2 Localizamos el factor común (m + 2n), entonces: a(m + 2n) + bm + 2bn = a · (m + 2n) + b · (m + 2n) = (m + 2n)(a + b). 8. Factorizar x(3a + 1) + 6a + 2 Paso 1 Factorizamos a 2 de 6a + 2: x(3a + 1) + 6a + 2 = x(3a + 1) + 2(3a + 1) Paso 2 Localizamos el factor común (3a + 1), entonces: x(3a + 1) + 6a + 2 = x · (3a + 1) + 2 · (3a + 1) = (3a + 1)(x + 2). 9. Factorizar m(4x − 1) + 12x − 3 Paso 1 Factorizamos a 3 de 12x − 3: m(4x − 1) + 12x − 3 = m(4x − 1) + 3(4x − 1) Paso 2 Localizamos el factor común (4x − 1), entonces: m(4x − 1) + 3(4x − 1) = m · (4x − 1) + 3 · (4x − 1) = (4x − 1)(m + 3). 10. Factorizar y(5x − 2) − 15x + 6 Paso 1 Factorizamos a 3 de 15x + 6: y(5x − 2) − 15x + 6 = y(5x − 2) − 3(5x + 2) Paso 2 Localizamos factor común (5x + 2), entonces: y(5x − 2) − 15x + 6 = y · (5x − 2) − 3 · (5x + 2) = (5x + 2)(y − 3).
11
4
Factorización completa
En esta serie de problemas, debemos de aplicar los dos tipos de factorización anteriores.
4.1.
Ejercicios: factorización completa
12
Factorizar ax +bx − ay − by ax + bx − ay − by
= x(a + b)− ay − by = x(a + b) − y(a + b) = (a + b)(x − y)
Factorizamos a x Factorizamos a y Factorizamos a (a + b)
Factorizar 2xy + y − 6x − 3 2xy + y − 6x − 3
= y(2x + 1) − 6x − 3 = y(2x + 1) − 3(2x + 1) = (2x + 1)(y − 3)
Factorizamos a y Factorizamos a 3 Factorizamos a (2x + 1)
Factorizar 3mn + 15n − 4m − 20 3mn + 15n − 4m − 20
= = =
3n(m + 5) − 4m − 20 3n(m + 5) − 4(m + 5) (m + 5)(3n − 4)
Factorizamos a 3n Factorizamos a 4 Factorizamos a (m + 5)
Factorizar 2a2 + 6a − 3ab − 9b 2a2 + 6a − 3ab − 9b
= = =
2a(a + 3) − 3ab − 9b 2a(a + 3) − 3b(a + 3) (a + 3)(2a − 3b)
Factorizar x + y2 − 3mx − 3my2
Factorizamos a 2a Factorizamos a 3b Factorizamos a (a + 3)
4.1. EJERCICIOS: FACTORIZACIÓ N COMPLETA
x + y2− 3mx − 3my2
x − 3mx + y2− 3my2 x(1 − 3m) + y2− 3my2 x(1 − 3m) + y2(1 − 3m) (1 − 3m)(x + y2)
= = = = Factorizar 6ab + 15a + 4b + 10 6ab + 15a + 4b + 10
13
Conmutamos Factorizamos a x Factorizamos a y2 Factorizamos a (1 − 3m)
= 3a(2b + 5) + 4b + 10 = 3a(2b + 5) + 2(2b + 5) = (2b + 5)(3a + 2)
Factorizamos a 3a Factorizamos a 2 Factorizamos a (2b + 5)
8. Factorizar 12mn + 8m + 3n + 2 12mn + 8m + 3n + 2
= 4m(3n + 2) + 3n + 2 = (3n + 2)(4m +1)
Factorizamos a 4m Factorizamos a (3n + 2)
9. Factorizar 4 + 15xy + 5x + 12y 4 + 15xy + 5x + 12y
= = = =
15xy + 5x + 12y + 4 5x(3y + 1) + 12y + 4 5x(3y + 1) + 4(3y + 1) (3y + 1)(5x +4)
Conmutamos Factorizamos a 5x Factorizamos a 4 Factorizamos a (3y + 1)
10. Factorizar −6y − 9 + 15x + 10xy −6y − 9 + 15x + 10xy
= −3(2y + 3) +15x + 10xy = −3(2y + 3) + 5x(3 + 2y) = (2y + 3)(5x − 3)
Factorizamos a −3 Factorizamos a 5x Factorizamos a (2y + 3)
11. Factorizar 3ab − 9a − b + 3 3ab − 9a − b + 3
= = =
3a(b − 3) − b + 3 3a(b − 3)−1(b − 3) (b − 3)(3a − 1)
Factorizamos a 3a Factorizamos a −1 Factorizamos a (b − 3)
13
5
Diferencia de cuadrados
En esta serie de problemas, aplicaremos la fórmula de diferencia de cuadrados a2 − b2 = (a + b)(a − b). 2Esta fórmula 2puede ser fácilmente comprobada al realizar la operación (a + b)(a − b) = a − ab + ba − b = a2 − b2.
5.1.
14
Ejercicios: diferencia de cuadrados
1. Factorizar a2 − b2 a2 − b2
(a +b)(a − b)
=
Aplicando la diferencia de cuadrados
2. Factorizar x2 − y2 x2 − y 2
=
(x + y)(x − y)
Aplicando la diferencia de cuadrados
3. Factorizar 4a2 − 9 4a2 − 9 4.
= (2a)2 − (3)2 = (2a + 3)(2a − 3)
Re-escribiendo Aplicando la diferencia de cuadrados
Factorizar 9b2− 16 9b2 − 16
= (3b)2 − (4)2 = (3b +4)(3b − 4)
Re-escribiendo Aplicando la diferencia de cuadrados
5. Factorizar 16a4 − 9b6 16a4 − 9b6
= (4a2)2 − (3b3)2 = (4a2 + 3b3)(4a2 − 3b3)
Re-escribiendo Aplicando la diferencia de cuadrados
5.1. EJERCICIOS: DIFERENCIA DE CUADRADOS
15
6. Factorizar 25x2y4 − 4z6 25x2y4 − 4z6
= (5xy2)2 − (2z3)2 = (5xy2 + 2z3)(5xy2 − 2z3)
Re-escribiendo Aplicando la diferencia de cuadrados
7. Factorizar 49x2b4 − 225 49x2b4 − 225
= (7xb2)2 − (15)2 = (7xb2 + 15)(7xb2 − 15)
1 8. Factorizar a4− b 6 4 1 4 6 1 a −b = ( a2)2 − (b3)2 4 2 1 1 = ( a2 + b3)( a2 − b3) 2 2 9.
Re-escribiendo Aplicando la diferencia de cuadrados
Re-escribiendo Aplicando la diferencia de cuadrados
1 16 2 2 32 12 ( a b ) −( ) 7 4 2 1 2 1 = ( a2b3 + )( a2b3 − ) 7 4 7 4
4 46 Factorizar 49 a b − 4 4 6 1 ab − = 49 16
10. Factorizar 9 x 2y4 − 25 a6 16 36 9 2 4 25 6 3 5 xy − a = ( xy2)2 − ( a3)2 16 36 4 6 3 2 5 3 3 2 5 3 = ( xy + a )( xy − a ) 4 6 4 6
15 Re-escribiendo Aplicando la diferencia de cuadrados
Re-escribiendo Aplicando la diferencia de cuadrados
6
Trinomio cuadrado perfecto
En esta serie de problemas, aplicaremos la regla de un trinomio cuadrado perfecto. Se sabe que (a + b)2 = a2 + 2ab + b2, entonces el lado izquierdo de la igualdad se llama trinomio cuadrado perfecto, ya que se puede escribir como un cuadrado de una suma. Cada ves que detectemos un trinomio cuadrado perfecto podemos aplicar esta igualdad. Para detectar si un trinomio es cuadrado perfecto, hay que tomar un término, ver que es un cuadrado (a2 ), obtener la raı́z (a), verificar si esta raı́z (a) esta en otro término (2ab), en tal caso verificar solo si la mitad de al cuadrado de la parte restante (2b), es precisamente el tercer término(b2 ).
6.1.
Ejercicios: trinomio cuadrado perfecto
1. Factorizar x2 − 2xy +y2 a) x2 es el cuadrado de x. b) 2xy es el término donde aparece x. c) 2y es la parte restante a x del término anterior. d) y es la mitad de esa parte restante. e) y2 es el cuadrado de esa mitad. f ) y 2 es en efecto, el tercer término del trinomio. Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto. x2 − 2xy + y2
= (x − y)2
El “-” es debido al signo en −2xy
16
6.1. EJERCICIOS: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
17
2. Factorizar x2 + 4x +4 a) x2 es el cuadrado de x. b) 4x es el término donde aparece x. c) 4 es la parte restante a x del término anterior. d) 2 es la mitad de esa parte restante. e) 22 = 4es el cuadrado de esa mitad. f ) 4 es en efecto, el tercer término del trinomio. Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto. x2 + 4x + 4 = (x + 2)2 El “+” es debido al signo en +4x 3. Factorizar y4 − 8y2 + 16 a) y4 es el cuadrado de y2. b) 8y 2 es el término donde aparece y 2 . c) 8 es la parte restante a y 2 del término anterior. d) 4 es la mitad de esa parte restante. e) 42 = 16es el cuadrado de esa mitad. f ) 16 es en efecto, el tercer término del trinomio. Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto. y2 − 8y2+ 16
= (y2 + 4)2
El “-” es debido al signo en −8y2
4. Factorizar 4x2 + 12x +9 a) 4x2 es el cuadrado de 2x. b) 12x = 6 · 2x es el término donde aparece 2x. c) 6 es la parte restante a 2x del paso anterior. d) 3 es la mitad de esa parte restante. e) 32 = 9es el cuadrado de esa mitad. f ) 9 es en efecto, el tercer término del trinomio. Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto. 4x2 + 12x + 9 = (2x + 9)2 El “+” es debido al signo en 12x
17
6.1. EJERCICIOS: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
18
5. Factorizar 9y2 − 24y +16 a) 9y2 es el cuadrado de 3y. b) 24y = 4 · 3y es el término donde aparece 3y. c) 4 es la parte restante a 3y del paso anterior. d) 2 es la mitad de esa parte restante. e) 42 = 16es el cuadrado de esa mitad. f ) 16 es en efecto, el tercer término del trinomio. Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto. 9y2 − 24y + 16
=
(3y − 4)2
El “-” es debido al signo en −24y
6. Factorizar 4x4 + 20x2 + 25 a) 4x4 es el cuadrado de 2x2. b) 20x 2 = 10 · 2x 2 es el término donde aparece 2x 2 . c) 10 es la parte restante a 2x2 del paso anterior. d) 5 es la mitad de esa parte restante. e) 52 = 25es el cuadrado de esa mitad. f ) 25 es en efecto, el tercer término del trinomio. Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto. 4x4 + 20x2+ 25 = (2x2 + 5)2 El “+” es debido al signo en 20x2 7. Factorizar 16a4 − 24a2b + 9b2 a) 16a4 es el cuadrado de 4a2. b) 24a2 b = 6 · 4a2 b es el término donde aparece 4a2 . c) 6b es la parte restante a 4a2 del paso anterior. d) 3b es la mitad de esa parte restante. e) (3b)2 = 9b2 es el cuadrado de esa mitad. f ) 9b2 es en efecto, el tercer término del trinomio.
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6.1. EJERCICIOS: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
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Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto. 16a4− 24a2b + 9b2
= (4a2 − 3b)2
El “-” es debido al signo en −24a2b
8. Factorizar 4a4 − 20a2b3 + 25b6 a) 4a4 es el cuadrado de 2a2. b) 20a2 b3 = 10 · 2a2 b3 es el término donde aparece 2a2 . c) 10b3 es la parte restante a 2a2 del paso anterior. d) 5b3 es la mitad de esa parte restante. e) (5b3)2 = 25b6es el cuadrado de esa mitad. f ) 25b6 es en efecto, el tercer término del trinomio. Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto. 4a4 − 20a2b3 + 25b6 9. Factorizar
a)
9x2 4
= (2a2 − 5b3)2
El “-” es debido al signo en −24a2b
9x 2 4y 2 + 2xy + 4 9
es el cuadrado de
3x . 2
3x 4 3x y es el término donde aparece . 23 2 4 3x c) y es la parte restante a del paso anterior. 3 2 2 d) y es la mitad de esa parte restante. 3 2 2 4y2 e) ( y) = 9 es el cuadrado de esa mitad. 3 b) 2xy =
f)
4y2 9
es en efecto, el tercer término del trinomio.
Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto. 9x2 4y2 3x 2 + 2xy + = ( + y)2 El “+” es debido al signo en +2xy 4 9 2 3
19
6.1. EJERCICIOS: TRINOMIO CUADRADO PERFECTO
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4a2 4ab 9b2 10. Factorizar 9 − 5 + 25 a) b) c) d) e) f)
4a2
es el cuadrado de 2a . 3 9 4ab 6b 2a 2a = es el término donde aparece . 5 5 3 3 6b 2a es la parte restante a del paso anterior. 5 3 3b es la mitad de esa parte restante. 5 2 3b ( )2 = 9b es el cuadrado de esa mitad. 25 5 9b2 25
es en efecto, el tercer del trinomio.
Por lo tanto el trinomio es cuadrado perfecto. 4ab 4a2 4a 9b2 2a 3b 2 b + = ( − ) El “-” es debido al signo en − 9 − 5 25 3 5 5
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Factorización de trinomios
Algunos trinomios pueden ser factorizados por simple inspección de sus elementos. Si observamos que (x + a)(x + b) = x2 + (a + b)x + ab. Entonces, si podemos encontrar números a, b tales que su suma sea el coeficiente de x y su producto sea el tercer término de un trinomio de la forma x2 + (a + b)x + ab, podemos aplicar la anterior observación para factorizar el trinomio.
7.1.
Ejercicios: factorización de trinomios
1. Factorizar x2 + 4x +3 a) 3 y 1 suman 4, b) 3 por 1 da 3, c) Por lo tanto x2 + 4x + 3 = (x + 3)(x + 1). 2. Factorizar x2 − 4x + 3 a) −3 y −1 suman −4, b) −3 por −1 da 3, c) Por lo tanto x2 + 4x + 3 = (x − 3)(x − 1). 3. Factorizar x2 + 3x − 10 a) 5 y −2 suman 3,
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7.1. EJERCICIOS: FACTORIZACIÓ N DE TRINOMIOS
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b) 5 por −2 da −10, c) Por lo tanto x2 + 3x − 10 = (x + 5)(x − 2). 4. Factorizar x2 − 2x − 8 a) 4 y −2 suman −2, b) 4 por −2 da −8, c) Por lo tanto x2 − 2x − 8 = (x + 4)(x − 2). 5. Factorizar x2 + x − 20 a) 5 y −4 suman 1, b) 5 por −4 da −20, c) Por lo tanto x2 + x − 20 = (x + 5)(x − 4). 6. Factorizar x2 − x − 12 a) −4 y 3 suman −1, b) −4 por 3 da −12, c) Por lo tanto x2 − x − 12 = (x − 4)(x + 3). 7. Factorizar x2 + 7x + 6 a) 6 y 1 suman 7, b) 6 por 1 da 6, c) Por lo tanto x2 + 7x + 6 = (x + 6)(x + 1). 8. Factorizar x2 − 2x − 24 a) −6 y 4 suman −2, b) −6 por 4 da −24, c) Por lo tanto x2 − 2x − 24 = (x − 6)(x + 4).
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7.1. EJERCICIOS: FACTORIZACIÓ N DE TRINOMIOS
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9. Factorizar x2− 9x + 8 a) −8 y −1 suman −9, b) −8 por −1 da −8, c) Por lo tanto x2 − 9x + 8 = (x − 8)(x − 1). 10. Factorizar x2 − 4x − 21 a) −7 y 3 suman −4, b) −7 por 3 da −21, c) Por lo tanto x2 − 4x − 21 = (x − 7)(x + 3). 11. Factorizar a2 + 5a + 6
a) 3 y 2 suman 5, b) 3 por 2 da 6, c) Por lo tanto a2 + 5a + 6 = (a + 3)(a + 2). 12. Factorizar b2 − 7b + 12 a) −4 y −3 suman −7, b) −4 por −3 da 12, c) Por lo tanto b2 − 7b + 12 = (b − 4)(b − 3). 13. Factorizar c2 − 4c + 3 a) −3 y −1 suman −4, b) −3 por −1 da 3, c) Por lo tanto c2 − 4c + 3 = (c − 3)(c − 1). 14. Factorizar x4 + 8x2 + 7
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7.1. EJERCICIOS: FACTORIZACIÓ N DE TRINOMIOS
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a) 7 y 1 suman 8, b) 7 por 1 da 7, c) Por lo tanto x4 + 8x2 + 7 = (x2 + 7)(x2 + 1). 15. Factorizar x4 − 8x2 +15 a) −5 y −3 suman −8, b) −5 por −3 da 15, c) Por lo tanto x4 − 8x2 + 15 = (x2 − 5)(x2 − 3). 16. Factorizar a6 − 7a3 + 10 a) −5 y −2 suman −7, b) −5 por −2 da 10, c) Por lo tanto a6 − 7a3 + 10 = (a3 − 5)(a3 − 2). 17. Factorizar x2 − 2x − 35 a) −7 y 5 suman −2, b) −7 por 5 da 35, c) Por lo tanto x2 − 2x − 35 = (x − 7)(x + 5). 18. Factorizar x2 + 3x − 54 a) 9 y −6 suman 3, b) 9 por −6 da −54. c) Por lo tanto x2 + 3x − 54 = (x + 9)(x − 6). 19. Factorizar x2 − 20x + 75 a) −5 y −15 suman −20, b) −5 por −15 da 75,
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7.1. EJERCICIOS: FACTORIZACIÓ N DE TRINOMIOS
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c) Por lo tanto x2 − 20x + 75 = (x − 5)(x − 15). 20. Factorizar x2 − 12x − 64 a) −16 y 4 suman −12, b) −16 por 4 da 64, c) Por lo tanto x2 − 12x − 64 = (x − 16)(x + 4). Factorizar x2− 16x + 48 21. a) −12 y −4 suman −16, b) −12 por −4 da 48, c) Por lo tanto x2 − 16x + 48 = (x − 12)(x − 4). Factorizar x2 − 8x − 20
22.
a) −10 y 2 suman −8, b) −10 por 2 da −20, c) Por lo tanto x2− 8x − 20 = (x − 8)(x − 20). Factorizar x2 − 16x − 36
23.
a) −18 y 2 suman −16, b) −18 por 2 da −36, c) Por lo tanto x2 − 16x − 36 = (x − 18)(x + 2). Factorizar x2− 25x + 100 a) −5 y −20 suman −25, b) −5 por −20 da 100, c) Por lo tanto x2 − 25x + 100 = (x − 5)(x − 20).
24.
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7.1. EJERCICIOS: FACTORIZACIÓ N DE TRINOMIOS
25. Factorizar x2 − 24x + 80 a) −4 y −20 suman −24, b) −4 por −20 da 80, c) Por lo tanto x2 − 24x + 80 = (x − 4)(x − 20).
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